あいさつ状を形式ばる必要はありません。
引っ越した事情などもあっさり書くのがよいでしょう。

郵便物の転送手続きをしていれば１年間は新住所への転送をしてもらえます。
もし、暑中見舞い、年賀状、結婚のお知らせなどと時期的に重なる場合は一緒に引越したことを書き添えておけばＯＫです。

手書きであいさつ状を作成する場合はけっこう大変ですが、少なくともアドレス帳に載っている人、 年賀状のやり取りがある人などには送っておきましょう。
お付き合いが少ない遠縁のの親戚に送ることもお忘れなく。

引越しのお知らせは、日ごろ音信のない人にも出しておくと、これをきっかけにお付き合いが深まることもあります。

引越しのあいさつ状は、 気心の知れた友人から会社の上司や親戚まで様々な関係にある人に送るものですのでシンプルなあいさつ文のほうが無難でしょう。
特定の人にだけ伝えたいことは添え書きにします。