転校届けを出すと、転校先の学校に提出する書類が交付されます。
交付されるのは、

• 在学証明書
• 教科書無償給与証明書

新住所地の役所で、住所変更の手続きをすると自動的に転校の手続きがとられ、公立の小・中学校はここで新しい転入校を指定されます。

• 届出先
  現在通っている学校
  ↓
  新住所地の市区役所・町村役場
  ↓
  転入校
• 必要な書類
  転校届け
  住民異動届けの写し
  転出校で交付された在学証明書・教科書無償給与証明書
  印鑑
• 届出人
  子供の保護者又は家族

私立の学校や高校の場合は、義務教育ではないので、手続きは直接志望校で行います。
学校によって条件が異なるので早めに確認しておきましょう。